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SSD MAT/05 "INTEGRAZIONE, SPAZI FUNZIONALI E PROBLEMI DI CONVERGENZA"

5-feb-2015

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Nell'ambito dei processi di integrazione non assolutamente convergenti costruiti mediante somme di tipo Riemann, è stato studiato l'insieme limite delle somme integrali di Henstock-Kurzweil per funzioni a valori in uno spazio di Banach, pervenendo alla sua caratterizzazione nel caso di separabilità dello spazio di Banach e per funzioni dominate da una funzione sommabile.
E’ stata data una completa caratterizzazione delle misure d’intervallo finitamente additive, a valori in uno spazio di Banach coniugato, che si possono rappresentare come integrali di Henstock-Kurzweil-Gelfand.
Nel caso in cui lo spazio codominio ha la proprietà debole di Radn-Nikodym, gli integrali sono di Henstock-Kurzweil-Pettis. Sono state inoltre ottenute rappresentazioni di tipo integrale per misure d’intervallo finitamente additive a valori in uno spazio di Banach con base.
Sono state studiate le interrelazioni tra gli integrali di MacShane, di Pettis e di Henstock per multifunzioni a valori nei sottoinsiemi convessi compatti di un arbitrario spazio di Banach (non necessariamente separabile). E’ stato provato che le multifunzioni MacShane integrabili sono tutte e sole quelle che sono sia Pettis che Henstock integrabili. E’ stata inoltre provata l’esistenza di selettori Henstock (rispettivamente McShane) integrabili per multifunzioni Henstock (rispettivamente McShane) integrabili. Utili strumenti per queste investigazioni sono stati i teoremi di decomposizione che consentono di ricondurre tipi diversi di integrali multivoci non assolutamente convergenti ad opportune traslazioni dell'integrale di Pettis o di MacShane.
E’ stata inoltre introdotta la nozione di decomponibilità per insiemi di funzioni vettoriali integrabili o secondo Henstock o più in generale secondo Henstock-Kurzweil-Pettis. Sono stati provati teoremi di rappresentazione per insiemi decomponibili di funzioni Henstock o Henstock-Kurzweil-Pettis integrabili, mediante le selezioni di una appropriata multifunzione.
E' stata provata l'ammissibilità dello spazio delle funzioni misurabili a valori vettoriali rispetto a misure finitamente additive e l'ammissibilità di spazi modulari definiti in assenza di una misura assegnata.
Nell'ambito degli spazi di Riesz, per i quali l'aspetto teoretico della teoria della misura è sostituito da quello degli operatori, viene sviluppata la teoria dei processi stocastici e caratterizzazioni di reticoli di Banach con la proprietà di Radon-Nikodym, analoghe a quelle che valgono per gli spazi di Bochner, vengono ottenute.
Sono state provate disuguaglianze per la variazione quadratica di martingale, sotto-martingale e sopra-martingale nell'ambito degli spazi di Riesz. In particolare si è provato, nel contesto degli spazi di Riesz, il teorema di Austin sulla convergenza della variazione quadratica delle martingale.