ANALISI MATEMATICA I
(Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica)
Prof. Maddalena Cusimano

PROGRAMMA DEL CORSO

Teoria elementare degli insiemi - Insiemi - Operazioni su insiemi - Prodotto cartesiano - Relazioni - Funzioni - Relazioni di equivalenza - Strutture algebriche - Numeri naturali - Numeri interi - Numeri razionali.

I numeri reali - Il corpo dei numeri reali - Conseguenze degli assiomi - Insiemi equipotenti - Cardinalità - Insiemi finiti ed insiemi infiniti - Valore assoluto di un numero reale - Potenza di base reale ed esponente intero, definizione e proprietà - Radice ennesima di un numero reale, definizione e proprietà - Potenza di base reale ed esponente razionale, definizione e proprietà - Potenza di base reale ed esponente reale - L'insieme esteso dei numeri reali - Intervalli - Disequazioni - Funzioni inverse delle funzioni elementari.

Successioni numeriche - Definizione - Successioni monotone - Successioni limitate - Sottosuccessioni - Successioni convergenti e successioni divergenti - Teoremi sui limiti delle successioni- Limite delle successioni monotone - Il numero di Nepero - Successioni di Cauchy - Criteri di Stolz-Cesàro (solo enunciati) - Limiti notevoli .

Topologia naturale di R - Intorni - Punti di accumulazione - Punti isolati - Punti interni - Punti frontiera - Teorema di Bolzano-Weierstrass - Insiemi aperti - Insiemi chiusi - Insiemi densi - Insiemi compatti - Intorni destri e sinistri.

Limiti - Definizioni - Teoremi sui limiti: Unicità del limite; Permanenza del segno; Limitatezza locale; Confronto - Teoremi per il calcolo dei limiti - Limite da destra e limite da sinistra - Limiti delle funzioni monotone - Limiti notevoli - Infinitesimi e principio di sostituzione degli infinitesimi - Infiniti e principio di sostituzione degli infiniti.

Funzioni continue - Definizioni - Punti di discontinuità - Operazioni sulle funzioni continue - Continuità delle funzioni composte - Teorema di Weierstrasse; teorema di esistenza degli zeri - Continuità delle funzioni inverse - Continuità uniforme: Teorema di Heine-Cantor - Lipschitzianeità.

Derivata di una funzione reale di una variabile reale - Definizioni - Caratterizzazione - Continuità delle funzioni derivabili - Significato geometrico di derivata - Differenziabilità - Differenziale - Significato geometrico di differenziale - Teoremi per il calcolo delle derivate - Derivate delle funzioni elementari - Derivate successive - Funzioni crescenti e funzioni decrescenti in un punto - Punti di massimo e punti di minimo relativo - Teoremi sulle funzioni derivabili- Regole di de L'Hospital (enunciate) - Formule di Taylor - Studio delle funzioni.

Serie numeriche - Definizioni - Criterio di Cauchy e sue conseguenze - Serie a termini non negativi - Criterio della radice e sue conseguenze - Criterio del rapporto e sue conseguenze - Teorema di Cauchy - Serie a segni alternativamente positivi e negativi.

Integrale di Riemann per le funzioni reali di una variabile reale - Integrale inferiore e integrale superiore di Riemann - Integrale di Riemann - Teoremi di integrabilità: Caratterizzazione delle funzioni integrabili - Criterio di integrabilità di Lebesgue (enunciato) - La funzione integrale - Teorema fondamentale del calcolo integrale - Teorema della media - Integrazione per parti ed integrazione per sostituzione - Integrale indefinito - Proprietà dell'integrale indefinito - Integrali impropri.

TESTI CONSIGLIATI

C. Di Bari-P.Vetro: ANALISI MATEMATICA Teoria ed esercizi - Libreria Dante , Palermo.
C. Di Bari-P.Vetro: SOLUTIONS Volumi 1 e 2 - Libreria Dante, Palermo.
P.Marcellini-C.Sbordone: ESERCITAZIONI DI MATEMATICA 1° Volume; Parte prima e parte seconda . Liguori editore.